Окончил Восточно-Сибирскую академию культуры и искусств  по специальности «режиссура драмы»  и Санкт-Петербургскую государственную академию театрального искусства  по специальности «режиссура театра кукол» – курс Н. Наумова. Работал в театре марионеток в Германии, преподавал в СПбГАТИ. Один из авторов проекта «Karlsson Haus». Ставит спектакли в театрах России и за рубежом.
В 2011 и 2015 входил в состав жюри  Российской национальной театральной премии «Золотая маска». В 2014 работал в дипломной комиссии Национальной школы кукольного искусства (Шарлевилль, Франция).
Был режиссером-постановщиком 3, 4 и 8 Международной летней театральной школы СТД  РФ (Звенигород, Московская обл). С 2013 - главный режиссер Государственного академического Центрального театра кукол им. Образцова (Москва)
Неоднократный лауреат Российской национальной театральной  премии «Золотая маска» и Высшей театральной премии  Санкт--Петербурга «Золотой софит».

В годы студенчества спектакли будущего режиссера  привлекали к себе внимание -зрители могли увидеть их на Международном фестивале театральных школ в польском Вроцлаве,  в программе Фестивалей театров «Дворцы Санкт-Петербурга – детям», на Международном фестивале театров кукол  стран Средиземноморья в Бейруте, столице Ливана.
В дальнейшем спектакли Бориса Константинова не раз становились участниками множества внутрироссийских и международных театральных фестивалей, отмечены призами и дипломами.
Например, его «Волшебное перышко» в театре марионеток им. Деммени (Санкт-Петербург) - лауреат Высшей театральной премии Санкт-Петербурга «Золотой софит» 2007 и  Национальной театральной премии «Золотая маска» 2008 в двух номинациях.
«Кармен» в Вологодском театре кукол - лауреат Национальной театральной премии «Золотая маска» 2014 – получила призы на VII Международном фестивале театров кукол «Петрушка Великий», на 46 Международном фестивале театров кукол «PIF» в хорватском Загребе, на XX Международном фестивале театров кукол для детей и молодежи в сербской Суботице (Гран-при), на Межрегиональном фестивале «Волжские встречи. Берендеево царство» в Костроме, на Международном фестивале спектаклей для взрослых «Соломенный жаворонок» в Челябинске, была в программе III Международного фестиваля театральных форм «Materia prima» в польском Кракове , VIII Международного фестиваля театров кукол «Кукольные дни в Измире» в Турции, XI Международного фестиваля синтетических театров и театров кукол «КукАрт» в Санкт-Петербурге и др..
Спектакль «Снеговик» Московского Театра кукол им. Образцова – лауреат  Национальной театральной премии «Золотая маска» 2013 в двух номинациях  -  стал «Лучшим спектаклем» Международного фестиваля театров кукол «Двама са малко - трима са много» в болгарском Пловдиве и был представлен в программах зрительских фестивалей: X Международного Рождественского фестиваля искусств в Новосибирске, Московского международного фестиваля театров кукол им. Образцова в Москве, Международного передвижного фестиваля театров кукол «Ковчег» в Томске.
Спектакль «По дороге к солнцу», поставленный им в Каунасском театре кукол в Литве, участвовал во II Международном театральном фестивале VASARA (Друскининкай, Литва),  в Международном фестивале театров кукол им. Образцова в Москве, в Международном  Таллиннском ТРЭФФ фестивале в Эстонии, в  Фестивале Конгресса АССИТЕЖ - Международной ассоциации театров для детей и молодежи (ASSITEJ) и UNIMA в хорватской Риеке, а также стал лауреатом Международного фестиваля театров кукол  «ЛЯЛЬКІ НАД НЁМАНАМ» в Гродно (Беларусь)
«Сказка о попе и о работнике его Балде» Вологодского театра кукол - лауреат Международного фестиваля 21-го Конгресса UNIMA, проходившего в Чэнджу (Китай) - получил также и приз Межрегионального фестиваля «Вятка-город детства» в Кирове.   Несколько раз спектакли Константинова были представлены во внеконкурсных программах Национальной театральной премии «Золотая маска» «Маска+» и Национальной театральной премии в области искусства для детей «Арлекин»,  в фестивальных программах «Золотой маски» в российских регионах и странах Прибалтики,  отбирались в программы фестивалей Конгресса АССИТЕЖ - Международной ассоциации театров для детей и молодежи, Всероссийского Пушкинского театрального фестиваля, Международного фестиваля новых театров, новой режиссуры, новой драматургии и театральных инициатив «Рождественский парад» в Санкт-Петербурге  и др.